Sistem Bilangan Real

1.1.    Sistem Bilangan Real

  Himpunan adalah sekumpulan obyek/unsur dengan kriteria/syarat tertentu. Unsur-unsur dalam himpunan S disebut anggota (elemen) S. Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong, ditulis dengan notasi f     atau {   }.

●  a Î S dibaca “a elemen S”, dan jika a bukan anggota himpunan S, ditulis sebagai a Ï S.

●  Suatu himpunan dituliskan dalam huruf kapital : A, B, ..

●  Cara menuliskan anggauta suatu himpunan :

                   didaftar, contoh A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} atau

           menuliskan syarat keanggautaannya, contoh :

                    A = {x | x bilangan positip yang kurang dari 7}

•         Himpunan A disebut himpunan bagian himpunan B, ditulis A Ì B , jika setiap anggota A merupakan anggota B. Tidak sulit dipahami bahwa  untuk sebarang himpunan A, berlaku ø Ì A.

•         Himpunan A disebut himpunan bagian himpunan B, ditulis A Ì B , jika setiap anggota A merupakan anggota B. Tidak sulit dipahami bahwa  untuk sebarang himpunan A, berlaku ø Ì A.

•         Himpunan semua bilangan asli adalah N = {1, 2, 3,……..}, dan himpunan ini tertutup terhadap operasi (+) dan (x), artinya  dan  untuk setiap x, y Î N Þ x+y Î N dan xy Î N. Himpunan bilangan asli bersama-sama dengan bilangan 0 dan bilangan bulat negatip membentuk sistem bilangan bulat ditulis Z.

•         Bilangan rasional adalah bilangan yang merupakan hasil bagi bilangan bulat dan bilangan asli. Himpunan semua bilangan rasional ditulis dengan notasi Q, dengan

                        Q = {a/b |a Î Z dan b Î N}

•         Bilangan yang tidak rasional disebut bilangan irasional. Contoh-contoh bilangan irasional antara lain adalah Ö2  dan p.

•         Himpunan semua bilangan irasional bersama-sama dengan Q membentuk himpunan semua bilangan real R.

1.1.1 Sifat-sifat Sistem Bilangan Real

          Untuk sebarang bilangan real a, b, c, dan d berlaku sifat-sifat

sebagai berikut:

1)    Komutatif : (i) a + b = b + a ;   (ii) ab = ba.

2)   Assosiatif : (i) a + (b + c) = (a + b)+c = a + b + c;                                                 (ii) a(bc) = (ab) c = abc;

3)   Distributif : a(b + c) = ab + ac;

4)   (i) a/b = a (1/b), b ¹ 0;    (ii) (a/b) + (c/d) = (ad + bc)/bd;       (iii) (a/b) (c/d) = (ac)/(bd), dengan b ¹ 0 , d ¹ 0.

5)   (i)  a (- b) = (- a)b = - (ab);   (ii) (- a)(- b) = ab;   (iii) – (- a) = a.

6)   (i) 0/a = 0, untuk a ¹ 0;   (ii) a/0 tidak terdefinisi;                (iii) a/a = 1, untuk a ¹ 0.

7)   Hukum kanselisasi : (i) jika ac = bc dan c ¹ 0 Þ a = b;             (ii)  jika b, c ¹ 0 Þ (ac)/(bc) = a/b.

Sifat pembagi nol : jika ab = 0 Þ a = 0 atau b = 0

1.1.2. Relasi Urutan

•         Himpunan semua bilangan real R meliputi : (i). Himpunan semua bilangan real positif (R⁺);    (ii). Himpunan dengan bilangan 0 sebagai satu-satunya anggota atau {0} ; dan (iii). Himpunan semua bilangan real negatif (R^-).             

•         Untuk sebarang bilangan real a dan b : a < b jika  b – a > 0  dan a > b   jika  b < a .                                        Mudah ditunjukkan bahwa : jika a bilangan positip Û a > 0          dan a bilangan negatip Û a < 0

•         Jika a kurang dari atau sama dengan b ditulis  a £ b, dan jika a lebih dari atau sama dengan b ditulis a ³ b.

•         a < b < c mempunyai arti a < b dan b < c.

Beberapa sifat yang penting relasi urutan : 

(i)                   jika a £ b Þ a + c £ b + c  ;

(ii)                 jika a £ b dan b £ c Þ a £ c ;

(iii)               jika a £ b dan c > 0 Þ ac £ bc;

(iv)                jika a £ b dan c < 0 Þ ac ³ bc;

(v)                  jika a > 0 Þ 1/a > 0   dan jika 0 < a £ b Þ 1/b  £  1/a;                   

(vi)                 untuk sembarang bilangan real a dan b salah satu pasti berlaku a < b atau a = b atau a > b  ;

(vii)               jika a, b  ³ 0  Þ a £ b Û a² £ b²  Û  Öa £ Ö b

1.1.3. Garis Bilangan

Secara geometris, sistem bilangan real R dapat digambarkan dengan garis lurus. Mula-mula diambil sebarang titik untuk dipasangkan dengan bilangan 0. Titik ini dinamakan titik asal (origin), ditulis dengan O. Pada kedua sisi dari O dibuat skala sama (segmen) dan disepakati arah positif disebelah kanan O sedangkan arah negatif disebelah kiri O. Selanjutnya, bilangan-bilangan bulat positif 1, 2, 3, … dapat dipasangkan dengan masing-masing titik di kanan O dan bilangan-bilangan  dengan titik-titik di sebelah kiri O.

1.1.4. Pertidaksamaan

•          Perubah (variable) adalah lambang (symbol) yang digunakan untuk menyatakan sebarang anggota suatu himpunan. Jika himpunannya R maka perubahnya disebut perubah real.

•          Pertidaksamaan (inequality) adalah pernyataan matematis yang memuat satu perubah atau lebih dan salah satu tanda ketidaksamaan (<, >, £, ³).

•          Sebagai contoh : 1)   2x – 7 < 5x + 2 ;  2) (2x – 1)/(x + 5) > 9;

        3) x² + y² £ 9      4) x² – x – 12 < 0

•          Menyelesaikan suatu pertidaksamaan berarti mencari sejumlah bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan tersebut dan disebut penyelesaian. Sifat-sifat biangan real digunakan di sini.

•          Contoh 1.1.2 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan : 2x – 5 < 5x + 7.

Penyelesaian:

      2x – 5 < 5x + 7 Û 2x – 5 – 5x + 5 < 5x + 7 – 5x + 5

                              Û - 3x < 12 Û - 3x (- 1/3) > 12 (- 1/3)

                            Û x > - 4  

      sehingga HP adalah : { x ÎR | x > - 4}

•          Contoh 1.1.3 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan : x² – 5x + 6 > 0.

Penyelesaian: faktorkan ruas kiri pertidaksamaan di atas, dan diperoleh (x – 2)(x – 3) > 0. Telah diketahui bahwa hasil kali 2 bilangan real positif apabila ke dua faktor positif atau ke dua faktor negatif, sehingga :

      (i) jika kedua faktor positip maka x – 2 > 0 dan x – 3 > 0 Û    x > 2 dan x > 3, sehingga diperoleh x > 3.

      (ii) jika kedua faktor negatip maka x – 2 < 0 dan x – 3 < 0 Û x <2 dan x < 3, sehingga diperoleh x < 2.

      Jadi HP adalah : { x Î R | x < 2 atau x > 3 }

Contoh 1.1.4 Tentukan penyelesaian x³ – 2x² – x + 1 £ - 1.

Penyelesaian: Apabila ke dua ruas pada pertidaksamaan di atas ditambah 1, maka diperoleh :     x³ – 2x² – x +  2 £ 0 Û (x – 1)(x + 1)(x – 2) £ 0. Jika  (x – 1)(x + 1)(x – 2) = 0, maka diperoleh : x = 1, x = -1, dan x = 2 . Jadi HP : { x Î R | x £ - 1 atau 1 £ x £ 2}, selanjutnya, perhatikan tabel berikut :

Contoh 1.1.5 Selesaikan (2x+6)/(x-2) £ (x+1)

Penyelesaian : apabila kedua ruas ditambah –(x+1), diperoleh :

       (2x+6)/(x-2)  - (x+1) £ 0 Û (2x+8-x²+x+2) / (x-2) £ 0 Û (x²-3x+10) / (x-2) ³ 0 Û (x-5)(x+2) / (x-2) Û ³ 0.      

Dengan demikian HP : { x Î R | -2 £ x < 2 atau x ³ 5}

1.1.5. Nilai Mutlak

            ·          Definisi : Nilai mutlak x Î R, ditulis |x|, didefinisikan sebagai |x|= Ö x²    atau dinyatakan sebagai :

                                                x,     x ³ 0

                                     |x|=

                                                - x,   x < 0

• Beberapa Sifat Nilai Mutlak |x| :                                                 

            (i) |x|³ 0    dan |x|= 0 Û x = 0               

            (ii) |xy|= |x||y|    dan |x / y|= |x|/ |y|,  asal y ¹ 0      

            (iii) ||x|- |y||£ |x + y|£ |x|+ |y|                                  

            (iv) ||x|- |y||£ |x - y|£ |x|+ |y|                                    

            (v) Jika a ³ 0 , maka |x|= a Û x = a atau x = - a           

(vi) Jika a ³ 0 , maka |x| £ a Û - a £ x £ a dan |x| ³ a Û x £ - a atau x ³ a

       1.1.6. Selang (Interval)

•                 Diberikan sebarang dua bilangan real a dan b, dengan a < b . Berturut-turut didefinisikan :

                        [a, b] = { x | a £ x £ b}        (a, b) = { x | a < x  < b}

                        [a, b) = { x | a £ x < b}        (a, b] = { x | a < x  £ b}

                        [a, ¥) = { x | x  ³ a}             (a, ¥) = { x | x > a}

                        (¥, a] = { x | x £ a}              (¥, a) = { x | x < a}

1.2.    Sistem Koordinat

1.2.1  Sistem Koordinat Cartesius Lanjutan

·         Letak sebarang titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan berurutan (x, y) . Titik  mempunyai arti bahwa jarak titik P ke sumbu-x dan sumbu-y masing-masing adalah |y| dan |x| .

·         Apabila x < 0 (atau y < 0)  maka titik P berada di sebelah kiri (atau sebelah bawah) titik asal O dan apabila x > 0 (atau y > 0)  maka titik P terletak di sebelah kanan (atau sebelah atas) titik asal O. Dalam hal ini, x disebut absis titik P sedangkan y disebut ordinat titik P.

1.2.2. Sistem Koordinat Kutub (Polar)

•          Pada sistem koordinat Cartesius, letak titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan (x, y) , dengan x dan y masing-masing menyatakan jarak berarah ke sumbu-Y dan ke sumbu-X. Pada sistem koordinat kutub, letak sebarang titik P pada bidang dinyatakan dengan pasangan bilangan real (r, q) , dengan r menyatakan jarak titik P ke titik O (disebut kutub) sedangkan q  adalah sudut antara sinar yang memancar dari titik O melewati titik P dengan sumbu-X positif (disebut sumbu kutub), seperti tampak gambar berikut.

1.2.2. Sistem Koordint Kutub Lanjutan

•          Dalam koordinat kutub letak suatu titik dapat dinyatakan dalam tak hingga banyak koordinat. Sebagai contoh, letak titik (3, p/3) dapat digambarkan dengan cara terlebih dulu melukiskan sinar yang memancar dari titik asal O dengan sudut sebesar p/3 radian terhadap sumbu mendatar arah positif. Kemudian titik P terletak pada sinar tadi dan berjarak 3 satuan dari titik asal O. Titik P dapat pula dinyatakan dalam koordinat (3, p/3+2kp), dengan k bilangan bulat, koordinat titik P dapat juga dinyatakan sebagai (-3, 4p/3). Pada koordinat yang terakhir, jarak bertanda negatif karenakan titik P terletak pada bayangan sinar OP’.

•          Secara umum, jika (r, q) menyatakan koordinat kutub suatu titik  maka koordinat itu juga dinyatakan sebagai : (r, q + 2kp)     atau   (-r, q + (2k+1)p)   dengan k bilangan bulat.

1.2.3. Hubungan Antara Koordinat Kartesius dan Kutub

·          Suatu titik P berkoordinat  (x,y) dalam sistem koordinat Cartesius dan (r, q) dalam sistem koordinat kutub. Apabila kutub dan titik asal diimpitkan, demikian pula sumbu kutub dan sumbu-x positif juga diimpitkan, maka kedudukan titik tampak pada gambar berikut :

·         Hubungan itu akan diperoleh menggunakan rumus segitiga, yakni :

                        x = r cos q      dan y = r sin q     atau

                        r = Ö x² + y²    dan q = arc sin (y/r) = arc cos (x/r)