Kontinu

Definisi Fungsi Kontinu

•          Definisi : Fungsi f dikatakan kontinu di  jika 

                        a Î D_f   jika  lim   f(x) = f(a)

                             x ® a

•          Definisi di atas secara  implisit mensyaratkan tiga hal agar fungsi f kontinu di a, yaitu:     

                        (i)   f(a) ada atau terdefinisikan,

                        (ii)  lim f(x) ada, dan

                              x ® a

                        (iii) lim f(x) = f(a)

                              x ® a

•          Secara grafik, fungsi f kontinu di  jika grafik fungsi f pada suatu interval yang memuat a tidak terpotong di titik (a, f(a)).

•          Jika fungsi f tidak kontinu di a maka dikatakan fungsi f diskontinu di a.

Sifat2 Dasar Fungsi Kontinu

Definisi 2 : Fungsi f dikatakan kontinu pada interval I jika f kontinu di setiap titik anggota I..

Sifat-sifat dasar fungsi kontinu

Teorema 1.  Jika fungsi f dan g kontinu di a, dan k sebarang konstanta real, maka 

                        f+g,  f – g,  kf, dan  fg kontinu di a.

            Demikian pula,  f/g kontinu di a asalkan g(a) ¹ 0 .

•          Seperti halnya pada hitung limit, dalam kekontinuan juga dikenal istilah kontinu satu sisi, hal itu diberikan pada definisi berikut ini.

Definisi 3 : i) Fungsi f dikatakan kontinu dari kiri di a jika                                                  lim  f(x) = f(a)

                  x ® a^-

ii) Fungsi f dikatakan kontinu dari kanan di a jika                                    lim  f(x) = f(a)

                               x ® a⁺

Contoh 1.

(a). Fungsi f dengan rumus f(x) = (x² – 1)/ (x – 1)  diskontinu di x = 1 karena f (1) tidak terdefinisi.

(b). Fungsi Heavyside H (x) diskontinu di x = 0, karena lim H(x) tidak

            ada untuk x ® 0

            c). Fungsi g dengan definisi:

                                (x² – 4) / (x – 2)        untuk x ¹ 2

            g(x) =

                                 1                              untuk x = 2

     diskontinu di x = 2, karena 1 = g(2) ¹  lim g(x)  = 4 untuk x ®2, akan tetapi g(x) kontinu di semua titik yang lain (x ¹ 2).

Contoh 2. Diberikan fungsi f(x) = Ö1 – x² , selidiki kekontinuan fungsi f.

Penyelesaian:

Jelas f tidak kontinu pada (- ¥, -1)  dan pada (1, ¥),  karena f tidak

terdefinisi pada interval tersebut.  Untuk nilai-nilai a dengan –1 < a <1

diperoleh :    

Jadi, f kontinu pada (-1, 1). Dengan perhitungan serupa didapatkan :

lim f(x) = 0 = f (- 1) dan lim f(x) = 0 = f (1), sehingga

x ® - 1⁺                                   x ® 1^-

f kontinu dari kanan di x = -1 dan kontinu dari kiri di x = 1.

Dengan demikian f kontinu pada [ - 1, 1].

Teorema 2.

Fungsi polinomial, fungsi rasional, fungsi akar, fungsi logaritma, fungsi

eksponen, dan fungsi trigonometri kontinu pada domainnya masing-

masing.

       Contoh 3.

(a). Fungsi f(x) = x² – x + 1  kontinu pada R .

(b). Fungsi f(x) = (x³ – 5x) / (x² – 1)  kontinu pada

                         {x ÎR | x ¹ 1 atau x ¹ -1

(c). Fungsi f(x) = Öx – 1 kontinu pada [1, ¥).