Fungsi

Fungsi

·    Diketahui R relasi dari A ke B. Apabila setiap x Î A berelasi R dengan tepat satu y Î B maka R disebut fungsi dari A ke B.

•          Pada gambar yang pertama, merupakan suatu relasi di mana antara unsur-unsur  di himpunan A (Æ) dipasangkan dengan unsur-unsur di B (Æ) tanpa syarat apapun.

•          Sedangkan pada gambar berikutnya relasi antara himpunan A dan B, dengan syarat unsur-unsur di A yang mempunyai relasi akan berelasi  dengan tepat satu unsur di B, dan relasi seperti itu sesuai definisi di atas disebut fungsi dari himpunan A ke B, ditulis f : A ® B.

•          Himpunan bagian dari A, di mana setiap unsurnya dipasangkan dengan unsur-unsur di B disebut daerah definisi fungsi atau domain f, ditulis D_f = { x Î A | f : A ® B terdefinisi}, sehingga D_f Í A (baca D_f himpunan bagian dari A atau bisa jadi A sendiri).

•          Himpunan setiap unsur di B yang mempunyai kawan di A disebut daerah nilai atau range, ditulis R_f = { y Î B | f : A ® B terdefinisi}, sehingga R_f Í B (baca R_f  himpunan bagian dari B atau bisa jadi B sendiri).

•          Selanjutnya x disebut variabel bebas dan y variabel tidak bebas, sedangkan y = f(x) disebut rumus fungsi f.

            2.1.2 Operasi Pada Fungsi

·         Diberikan skalar real a dan fungsi-fungsi f dan g. Jumlah f + g, selisih f - g, hasil kali skalar af , hasil kali fg , dan hasil bagi f/g, masing-masing didefinisikan sebagai berikut :

                        (f + g) (x) = f(x) + g(x)              (f – g) (x) = f(x) – g(x)

                        (af) (x) = a f(x)                        (fg) (x) = f(x) g(x)

                        (f/g) (x) = f(x) / g(x)    asal g(x) ¹ 0.

Daerah definisi masing-masing fungsi di atas adalah irisan daerah definisi f dan g, kecuali untuk (f/g),

                     D_f/g = { x Î D_f Ç D_g | g(x) ¹ 0}

       2.1.3. Fungsi Invers

•          Diberikan fungsi f : X ® Y . Kebalikan (invers) fungsi f adalah relasi g dari Y ke X. Pada umumnya, invers suatu fungsi belum tentu merupakan fungsi.

•          Apabila  f : X ® Y merupakan korespondensi 1 – 1, maka mudah ditunjukkan bahwa invers f juga merupakan fungsi. Fungsi ini disebut fungsi invers, ditulis dengan notasi f ^{- 1} .

•          Sehingga x = f ^{– 1} (y) Û  y = f(x)   dengan D_f ^{– 1} = R_f    dan R_f ^-1 = D_f.

Fungsi invers.doc

            2.1.4. Fungsi Komposisi

•             Perhatikan fungsi y = Ö x² + 1 . Apabila didefinisikan  y = f(u) = Ö u dan u = g(x) = x² + 1 dan  maka dengan menggunakan substitusi berikut akan diperoleh y = f(u) = f(g(x)) = Öx² + 1 , yaitu rumus fungsi awal yang disebutkan. Proses demikian ini disebut komposisi.

•          Diketahui f dan g sebarang dua fungsi. Ambil sebarang x Î D_g . Apabila g(x) Î D_f maka f dapat dikerjakan pada g(x) dan diperoleh fungsi baru h(x) = f(g(x)), dan disebut fungsi komposisi dari f dan g, ditulis f o g .

•          Definisi 2.1.7. Fungsi komposisi dari f dan g ditulis f o g , didefinisi kan sebagai ( f o g )(x) = f(g(x)),

            dengan domain : D _{f o g} = { x Î D_g  | g(x) Î D_f}.

            2.2.1. Grafik  Fungsi Dalam Sistem Koordinat Cartesius

Jika diberikan fungsi f, himpunan {(x,y) | y = f(x), x Î D_f } disebut grafik fungsi f.

• Dalam sistem koordinat Kartesius, fungsi dikelompokkan dalam fungsi aljabar dan fungsi transenden.
• Fungsi  f disebut  fungsi  aljabar  jika  f dapat dinyatakan sebagai jumlahan, selisih, hasil kali, hasil bagi, pangkat, ataupun akar fungsi-fungsi suku banyak.
• Sedangkan fungsi transenden, antara lain fungsi trigonometri, fungsi algoritma, eksponen dsb.

2.2.2. Beberapa Jenis Fungsi

1. Fungsi  Aljabar  meliputi :Fungsi  rasional, Fungsi  bulat (fungsi  suku  banyak), Fungsi  pecah, Fungsi  irasional.
2. Fungsi suku banyak (polinum) : fungsi banyak derajad- n mempunyai persamaan sbb. : f(x) = Pn(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + . . . + a_n xⁿ          dengan n bilangan bulat tak negatif , dan  a₀, a₁, a₂,  . . . ,a_n   dengan a_n ¹ 0.

3.   Fungsi konstan : f(x) = C, grafik fungsi ini merupakan garis lurus sejajar sumbu  X.

4.   Fungsi linier : f(x) = mx + n, grafik fungsi ini merupakan garis lurus dengan gradien m dan melalui titik (0, n).

5.   Fungsi kuadrat : f(x) = ax² + bx + c,    a ¹ 0, grafik fungsi ini adalah parabola yang posisinya tergantung harga diskriminan d = b² – 4ac.

6.   Fungsi kubik : f(x) = a₃x³ +  a₂x² + a₁x + a₀   dengan  a₃ ¹ 0.

7. Fungsi  Irasional : Beberapa  contoh  fungsi   irasional  beserta grafiknya diperlihatkan pada gambar berikut ini.
8. Fungsi transenden : meliputi fungsi trigonometri, fungsi siklometri, fungsi eksponen, dan fungsi logaritma.
9.  Fungsi trigonometri
10. Fungsi pecah : fungsi f(x) yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua suku banyak.
11. Apabila r menyatakan jarak  titik  P  ke  O  dan  q  menyatakan besar sudut antara OP  dengan  sumbu X  (arah berlawanan  dengan jarum jam), maka berturut-turut didefinisikan sebagai berikut :

sin q = y/r                              cos q = x/r

tan q = y/x                            cot q = x/y

sec q = r/x                             csc q = r/y

Dari definisi mudah ditunjukkan hubungan-hubungan berikut : tan q = sin q / cos q, cot q = cos q / sin q, sec q = 1 / cos q  

csc q = 1 / sin q,       sin² q + cos² q = 1

1      + tan² q = sec² q, 1 + cot² q = csc² q

Dalam geometri besar sudut diukur dalam derajat, dalam kalkulus besar sudut dinyatakan dalam  radian. Besar sudut satu radian sama dengan besar sudut pusat juring lingkaran OPQ yang panjang busurnya sama dengan jari-jari lingkaran (perhatikan gambar berikut). Sehingga 2p radian = 360⁰     atau 1 radian = 180⁰ / p derajad

Fungsi siklometri

•          Untuk – p £ x £ 2p, grafik  y = sin x dan y = cos x  berpotongan di x = -p/4  dan x = 5p/4.

            ii). Fungsi Siklometri

• Untuk domain tertentu invers fungsi trigonometri juga merupakan suatu fungsi, yang dikenal sebagai fungsi siklometri. Invers fungsi sin x   adalah sin ^-1 x  atau arc sin x dan didefinisikan sbb. :

            y = sin ^-1 x = arc sin x            Û     x = sin y,        y Î [-p/2, p/2]

            y = cos ^-1x = arc cos x      Û     x = cos y,           y Î [0, p]

            y = tan ^-1x = arc tan x            Û     x = tan y, y Î (-p/2, p/2)

            y = cot ^-1x = arc cot x            Û     x = cot y, y Î (0, p)

            y = sec ^-1x = arc sec x            Û     x = sec y, y Î (-p/2, p/2)

            y = csc ^-1x = arc csc x            Û     x = csc y, y Î (0, p)